Ausgehend von einer ganzzahligen positiven Dezimalzahl, bei der nicht alle Ziffern gleich sind, ordnet man einmal die Ziffern um, um die größtmögliche Zahl zu erhalten, und dann so dass man die kleinstmögliche Zahl erhält. Von diesen beiden Zahlen bildet man die Differenz und erhält eine neue Zahl. Auf das Resultat wendet man das Verfahren wiederholt an. Bei 4-stelligen Dezimalzahlen erhält man stets 6174.
Aha, da muss 6174 wohl eine besondere Zahl sein, wenn sie sogar den Namen Kaprekar-Konstante erhalten hat.
Es gibt ein paar Auffälligkeiten, die uns stutzig machen sollten. Diese werde ich in Folge untersuchen, den sie könnten ja auch nichts mit der Sache zu tun haben.
Was eine 4-stellige Zahl ist, scheint klar zu sein. Aber gehen wir als Beispiel von der Zahl 4344 aus. Das Bild dieser Zahl ist:
4344 🠒 4443 - 3444 = 999
Hoppala, da haben wir ja eine 3-stellig Zahl als Ergebnis.
Macht ja nichts, wir schreiben eine 0 davor - 0999 - und haben wieder eine 4-stellige Zahl. Mit dieser rechnen wir weiter.
0999 🠒 9990 - 0999 = 8991 🠒 9981 - 1899 = 8082 🠒 8820 - 0288 = 8532 🠒 8532 - 2358 = 5174
Wenn 999 jedoch eine 3-stellige Zahl ist:
999 🠒 999 - 999 🠒 0
Aha, da kommt anderes heraus, wenn die selbe Zahl anders betrachtet wird.
Stellen wir uns 1000 Würfel mit Kantenlänge 1 cm vor und diese sind mit 0 bis 999 beschriftet sind. Gleichzeitig haben wir auch eine Schachtel mit Innenmaßen 10cm mal 10cm mal 10cm. Diese befüllen wir der Reihe nach: 0 kommt ins unterste Eck, 1 daneben, 2 neben der 1 bis mit 9 eine Reihe gefüllt ist. Den 10er-Würfel plazieren wir neben der 0 auf der untersten Ebene, den 11er neben 10 und 1, bis mit 10 die 2.Reihe gefüllt ist. So füllen wir den Boden mit dem letzten 99er Würfel. Den 100er Würfel legen wir auf den 0-er, den 101er auf den 1er, und so fort bis die 2. Ebene gefüllt ist.
Die Spalte, Reihe und Ebene stellen die Stellen in Dezimaldarstellung dar, wobei wir jeweils 0, 1, ... bis 9 durchnummerieren
Wenn jetzt diese Schachtel nur Innenmaße von 8cm hat und wir nach dem selben Prinzip einräumen. Die Spalte, Reihe und Ebene stellen die Stellen in Oktaldarstellung dar.
Aha, da verschieben sich die Würfel und es sind ganz andere Würfel nebeneinander.
Um zu kennzeichnen, welche Schachtel wir verwenden, schreiben wir hinter die Zahl entweder DEZ für die 10er-Schachtel oder OKT für die 8er-Schachtel.
Die 367 (DEZ) liegt in der 8er-Schachtel in 5. Spalte, 5. Zeile und 7. Ebene, d.h. die Zahl ist 557 (OKT). Jetzt folgt die Formel in beiden Systemen.
367 (DEZ) 🠒 763 - 367 = 396 (DEZ) 🠒 963 - 369 = 594 🠒 954 - 459 = 495 🠒 954 - 459 = 495 (DEZ) = 757 (OKT)
557 (OKT) 🠒 755 - 557 = 176 (OKT) 🠒 761 - 167 = 572 🠒 752 - 257 = 473 🠒 743 - 347 = 374 🠒 743 - 347 = 374 (OKT) = 252 (DEZ)
Aha, die Zahl ist vom Zahlensystem abhängig. Hätten wir statt 5 Fingern an einer Hand nur 4, so wäre die Kaprekar-Konstante eine andere. Wir können uns jetzt Lebewesen mit beliebig anderen Gliedmaßen ausdenken, und kommen zu unterschiedlichen Ergebnissen.
Schon 2 Seltsamkeiten - als erfahrener Ermittler wissen wir, da sollten wir weiterforschen.
Wenn wir unsere kleinen Würfel in der Schachtel statt zuerst die Reihe und dann die Spalte aufzufüllen, zuerst die Spalte und dann die Reihe auffüllen. so kann der selbe Würfel ziemlich entfernt landen. Für die Berechnung ist das aber egal.
367 = 763 - 367 = 396
376 = 763 - 367 = 396
Es wird beim Vorgehen auch immer abwechselnd berechnert und Ziffern sortiert:
sortieren - rechnen - sortieren - rechnen - sortieren - rechnen - ...
Warum wird immer die Zahl nach dem Rechnen angeschrieben?
Man könnte ja nach dem Sortieren immer anschreiben!
891 🠒 189 🠒 792 🠒 279 🠒 693 🠒 369 🠒 ...
Aha! Es reicht eigentlich die Ziffern aufzulisten { 3, 6, 7 } und mit diesen zu rechnen. In dieser Auflistung ist die Reihenfolge egal. Da gab es doch etwas, ah ja "Menge". Die Richtung stimmt, aber es gibt eine kleines Problem: { 3, 3, 4 } ist keine Menge im mathematischen Sinn, da doppelte Elemente nicht zulässig sind. Man kann behaupten, der erste 3er ist ein anderer als der zweite. Dies hilft aber nicht, da es keine Möglichkeit und auch keine Auswirkung der Unterscheidung gibt. Es gibt aber schon Namen dafür "Multimenge", "Multiset", "Kombinationen mit Wiederholung" und damit man es von einer Menge unterscheiden kann schreibt man {| 3, 6, 7 |} oder z.B. {| 3, 3, 7 |}. Es reicht damit auch nur jene Zahlen zu verwenden, deren Ziffern in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind. Da werden unsere 4-stelligen Zahlen aber sehr lückenhaft: ..., 278, 279, 288, 289, 333, 334, ...
Aha, selbst Schweizer Emmentaler hat weniger Löcher.
Schon 3 Seltsamkeiten - als erfahrener Ermittler wissen wir, da zerfällt vielleicht bald ein Alibi.
Bei der 3-stelligen Berechnungen ist uns aufgefallen, dass die mittlere stets ein 9er wird.
367 🠒 763 - 367 = 396
468 🠒 864 - 468 = 396
569 🠒 965 - 569 = 396
478 🠒 874 - 478 = 396
458 🠒 854 - 458 = 396
Die mittlere Ziffer ist - in gewissen Grenzen - irrelevant (458, 468, 478). Die Differenz der 1. und 3. Ziffer (367, 468, 469) bestimmt das Ergebnis.
Der 9er als größte Ziffer wandert an ein Ende, eine andere Ziffer daher auf den Vernichtungsplatz in die Mitte.
Aha, da geht ziemlich viel Information verloren. Nicht nur, dass der Wald viele und große Lichtungen hat, da bleiben auch wenige Bäume stehen.
Nach dieser 4. Seltsamkeit weiß der Ermittler die Bruchstücke können zusammengefügt werden.
Es wird zwangsläufig auf Grund der Konstruktion nicht allzu viele Fixpunkte geben. Die Fixpunkte zu bestimmen ist das Lösen eines Gleichungssystems. In diesem Fall 4 Gleichungen mit 4 Variablen. Als Lösung kommt 6, 1, 7, 4 heraus.
Aha, es gibt ein Gleichungssystem, das die Lösung 6, 1, 7, 4 hat! - Was für eine tolle Erkenntnis! Wer hätte das gedacht?
Fact or Fake ?
Es tut mir leid Ihnen mitteilen zu müssen, die Bedeutung der Zahl 6174 ist rein konstruiert!
Der Ermittler widmet sich jetzt den Fragen: "Wie hat er die Tat verschleiert? Wie konnte dies Freistetter nicht auffallen?"
... aber das ist Thema eines anderen Untersuchungsausschusses!
während findige Geschäftleute versuchen besondere Zahlen zu erzeugen, und mit Namen versehen zu verkaufen.
Die Rezeptur des Zaubertranks wurde uns jedoch zugespielt und die wesentlichen Schritte können wir Ihnen darstellen:
Es gibt 1000010000 verschiedene Funktionen, die die natürlichen Zahlen kleiner 10000 auf sich selbst abbilden.
Suche 1 davon mit diesen Eigenschaften:
Zum Abschluss werden diese Aussagen noch auf ein mathematisches Fundament gestellt:
Gernot M. Singer (C) 2021
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